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  高中简易逻辑
  [发布时间:2014-09-15 12:56:04 ][阅读次数:1495 次]
 

§1–2 简易逻辑

一、命题

1.2.1 如果一个命题的逆命题是真命题,那么这个命题的( )

(A) 否命题必是真命题                     (B) 否命题必是假命题

(C) 原命题必是假命题               (D) 逆否命题必是真命题

解析 一个命题的逆命题与否命题真假相同,答案为A

 

1.2.2 命题“对任意的xRx3x21≤0的否定是( )

(A) 不存在xRx3x21≤0 

(B) 存在xRx3x21≤0

(C) 存在xRx3x21>0 

(D) 对任意的xRx3x21>0

解析 “对任意的xRx3x21≤0的否定是“存在xR,使得x3x21>0,答案为C

 

1.2.3 与命题“若aM,则bM”等价的命题是( )

(A) bM,则aM               (B) bM,则aM

(C) bM,则aM                     (D) aM,则bM

解析 逆否命题与原命题互为等价命题,原命题的逆否命题为“若bM,则aM”,所以,答案为C

 

1.2.4 f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可以推出f(k1)≥(k1)2成立”,那么,下列命题总成立的是( )

(A) f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立

(B) f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立

(C) f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)<k2成立

(D) f(4)25成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立

解析 由25>16f(4)25使得f(4)≥42成立,由已知可得当k≥4时,均有f(k)≥k2成立,答案为D

 

1.2.5 命题“若x2<1,则-1<x<1的逆否命题是( )

(A) x2≥1,则x≥1x1            (B) 若-1<x<1,则x2<1

(C) x>1x<1,则x2>1            (D) x≥1x1,则x2≥1

解析 命题“若x2<1,则-1<x<1的逆否命题是“若x≥1x1,则x21,答案为D

 

1.2.6 在原命题“若ABB,则ABA”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是    

解析 原命题的逆否命题为“若ABA,则ABB”.当ABA时,任取xAAB,必有xB,则AB,必有ABB成立,所以,逆否命题和原命题都是真命题.

原命题的否命题为“若ABB,则ABA”,同上,可知否命题和逆命题也都是真命题.所以,在这四个命题中,真命题的个数是4

 

1.2.7 ab都是非零实数,证明:|a||b||ab|ab>0等价.

解析 若|a||b||ab|,则(|a||b|)2|ab|2a2b22|a||b|a2b22ab,于是,|ab|ab,可得ab>0

ab>0,则 或于是,|a||b||ab|

所以,当ab都是非零实数时,|a||b||ab|ab>0等价.

 

1.2.8 已知AB都是非空集合,证明:“ABAB”与“AB”是等价的.

解析 若ABAB,则任取xA,必有xABAB,于是,xAB,则xB,所以,AB,同理可得BA,于是,AB;若AB,则显然有ABAB,所以,“ABAB”与“AB”是等价的.

 

1.2.9 已知abc是实数,则与“abc互不相等”等价的是( )

(A) abbc                           (B) (ab)(bc)(ca)≠0

(C) (ab)2(bc)2(ca)2≠0        (D) a2b2c2互不相等

解析 由于不相等关系不具有传递性,当abbcac可能相等;

(ab)2(bc)2(ca)2≠0可得abbcca中至少有一个不成立,即(ab)2(bc)2(ca)2≠0等价于“abc不全相等”,而不能等价于“abc互不相等”;

a=-1b0c1,此时abc互不相等,但a2c2,所以,“abc互不相等”与“a2b2c2互不相等”不是等价的;

ab等价于ab≠0,“abc互不相等”等价于ab≠0bc≠0ca≠0同时成立,所以,“abc互不相等”与“(ab)(bc)(ca)≠0等价,答案为B

 

1.2.10 命题“若ab0,则ab中至少有一个为零”的逆否命题为      

解析 原命题的逆否命题为“若ab均不为零,则ab0

 

1.2.11 给出下列四个命题: x2y2,则xy xy,则x2y2 x2y2,则xy xyxy,则x2y2,其中真命题的序号是     

解析 由x2y2可得xyx=-y,命题不成立;若x=-y≠0,此时xy,而x2y2,于是,命题不成立;若x2y2时有xy,则可得x2y2,矛盾,于是,命题成立;对于xyxy,如果x2y2,则有xyx=-y,即xyx=-y至少有一个成立,矛盾,于是,命题成立.所以,上述四个命题中,真命题的序号是

 

1.2.12 已知命题p:方程x2mx10有两个不等的负实根.命题q:方程4x2 4(m2)x10没有实根.若“pq”为真,“pq”为假,求实数m的取值范围.

解析 当命题p为真时,应有解得m>2.当命题q为真时,应有Δ16(m2)216<0,解得1<m<3.于是,使“pq”为真的m的取值范围是m>1,使“pq”为假的m的取值范围是m≤2m≥3,所以,使两者同时成立的m的取值范围是m≥31<m≤2

 

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

1.2.13 某人要在一张3×3的表格中填入9个数(填的数有正有负),他要使得表中任意一行的三个数之和为正,而任意一列的三个数之和为负.求证:他一定不能写出满足要求的数表.

解析 若此人能写出满足要求的数表,则由a11a12a13>0a21a22a23>0a31a32a33>0可得数表中的九个数之和为正;同时,又有a11a21a31<0a12a22a32<0a13a23a33<0,则数表中的九个数之和为负,矛盾,所以,此人一定不能写出满足要求的数表.

 

1.2.14 abRA{(xy)|yaxbxZ}B{(xy)|y3x215xZ}C{(xy)|x2y2≤144}都是平面xOy内的点的集合.求证:不存在ab,使得AB,且点(ab)C同时成立.

解析 设满足要求的ab存在,则P(ab)C,即a2b2≤144

由得axb(3x215)0,在aOb平面内,原点到直线axb(3x215)0的距离是=3≥12,其中等号当且仅当3,即x23时成立,但它与xZ矛盾,所以,使AB成立的(ab)必有 >12,与a2b2≤144矛盾,所以,满足要求的ab不存在.

 

1.2.15 中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”,“平行关系”等等,如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件:

(1) 自反性:对于任意aA,都有a~a

(2) 对称性:对于abA,若a~b,则有b~a

(3) 传递性:对于abcA,若a~bb~c,则有a~c,则称“~”是集合A的一个等价关系,例如:“数的相等”是等价关系,而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立),请你再列出三个等价关系:      

解析 由集合、角、向量的性质可知,“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是满足要求的等价关系.

 

1.2.16 已知函数f(x)R上是增函数,abR.写出命题“若ab>0,则f(a)f(b)>f(a)f(b)”的逆命题,并判断其真假.若所写命题是真命题,给出证明;若所写命题是假命题,给出反例.

解析 所求逆命题为:已知函数f(x)R上是增函数,abR.若f(a)f(b)>f(a)f(b),则ab>0.该命题是真命题.证明如下:

ab≤0,即ab,由函数f(x)R上是增函数得f(a)≤f(b),同理f(b)≤f(a),由此可得f(a)f(b)≤f(a)f(b),与已知条件矛盾.所以,ab>0

 

二、充分条件和必要条件

1.2.17 两个圆“周长相等”是“面积相等”的( )

(A) 充分不必要条件                  (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件                      (D) 既不充分也不必要条件

解析 两个圆周长相等,则由r1r2得两圆半径r1r2,则两圆面积相等,反之亦然,所以,两个圆“周长相等”是“面积相等”的充要条件,答案为C

 

1.2.18 P:四边形四条边长相等,Q:四边形是平行四边形,则PQ( )

(A) 充分不必要条件                  (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件                      (D) 既不充分也不必要条件

解析 当四边形的四条边长相同时,它是菱形,一定是平行四边形;反之,一个平行四边形的四条边长不一定都相等,所以,PQ的充分不必要条件,答案为A

 

1.2.19 已知abcd都是实数,则“abcd”是“acbd”的( )

(A) 充分不必要条件                  (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件                      (D) 既不充分也不必要条件

解析 对于实数abcd,如果abcd,则有ab0cd0,则ac(bd)(ab)(cd)0,于是,acbd;反之,如果a1b2c4d3,有acbd,但此时abcd,所以,“abcd”是“acbd”的充分不必要条件,答案为A

 

1.2.20 已知abc是实数,则“ab”是“acbc”的( )

(A) 充分不必要条件                  (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件                      (D) 既不充分也不必要条件

解析 如果ab,则ab0,于是,acbc(ab)c0,可得acbc;反之,如果c0a1b2,此时有acbc,但ab,所以,“ab”是“acbc”的充分不必要条件,答案为A

 

1.2.21 mn是整数,则“mn均为偶数”是“mn是偶数”的( )

(A) 充分不必要条件                  (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件                      (D) 既不充分也不必要条件

解析 如果mn均为偶数,则mn一定是偶数;反之,如果m1n3mn4为偶数,但此时mn都不是偶数,所以,“mn均为偶数”是“mn是偶数”的充分而不必要条件,答案为A

1.2.22 设集合AB是全集U的两个子集,则A BUABU( )

(A) 充分不必要条件

1.2.22

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

解析 由表示集合UAB关系的图形可知当A B时必有UABU成立,反之,当AB时,也有UABU成立,即AB的真子集不是UABU成立的必要条件,所以,答案为A

1.2.23 对于集合MP,“xMxP”是“xMP”的( )

(A) 充分不必要条件

1.2.23

(B) 必要不充分条件

(C) 充要条件

(D) 既不充分也不必要条件

解析 由表示集合MP的图形可知当xMxP时不一定有xMP,而当xMP时必有xMxP,所以,“xMxP”是“xMP”的必要不充分条件,答案为B

 

1.2.24 如果xy是实数,那么“cos xcos y”是“xy”的( )

(A) 充分不必要条件                  (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件                      (D) 既不充分也不必要条件

解析 当cos xcos y时,不一定有xy,而当xy时,必有   cos xcos y,所以,“cos xcos y”是“xy”的必要不充分条件,答案为B

 

1.2.25 使不等式(1|x|)(1x)>0成立的充要条件为( )

(A) x<1x>1                        (B) 1<x<1

(C) x>1x≠1                        (D) x<1x1

解析 此不等式等价于或解得-1<x<1x<1,即为x<1x1,所以,答案为D

 

1.2.26 一元二次方程ax2bxc0有一个正数根和一个负数根的充要条件是( )

(A) ab>0               (B) ab<0        (C) ac>0        (D) ac<0

解析 若一元二次方程ax2bxc0有一个正数根x1和一个负数根x2,则x1x2<0,则ac<0;反之,若ac<0,一元二次方程的判别式Δb24ac>0,此方程一定有两个实数根,且两根之积为<0,这两个实数根一定是一个正数和一个负数,所以,一元二次方程ax2bxc0有一个正数根和一个负数根的充要条件是ac<0,答案为D

 

1.2.27 x>1是“<1( )

(A) 充分不必要条件                  (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件                      (D) 既不充分也不必要条件

解析 若x>1,则-1<0,即<1;反之,如果x<0,则有<1,此时,x>1不成立,所以,“x>1”是“<1”的充分不必要条件,答案为A

 

1.2.28 已知x是实数,则“x1是“x24x3≠0( )

(A) 充分不必要条件                  (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件                      (D) 既不充分也不必要条件

解析 如果x3,则x≠1,此时x24x3(x1)(x3)0;反之,如果x24x3≠0,即(x3)(x1)≠0,则x≠3x≠1,所以,“x≠1”是“x24x3≠0的必要不充分条件,答案为B

 

1.2.29 “一个正整数的个位数字是5是“这个正整数是5的倍数”的( )

(A) 充分不必要条件                  (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件                      (D) 既不充分也不必要条件

解析 如果一个正整数的个位数是5,即此正整数一定可表示成10k5(k是非负整数),它一定是5的倍数;反之,可写成10n(n是正整数)的正整数一定是5的倍数,但它的个位数不是5,所以,“一个正整数的个位数字是5是“这个正整数是5的倍数”的充分不必要条件,答案为A

 

1.2.30 对于集合AB,下列四个命题中正确的是( )

(A)A不是B的子集”的充要条件是“对任意xA都有xB

(B) A不是B的子集”的充要条件是“AB

(C) A不是B的子集”的充要条件是“B不是A的子集”

(D) A不是B的子集”的充要条件是“存在xA,使得xB

解析 由于A不是B的子集,则至少存在一个x0Ax0B,并不要求对任意的xAxB,但是,对任意xA都有xB,则A一定不是B的子集,所以,“对任意xA都有xB”是“A不是B的子集”的充分不必要条件.

A不是B的子集,不一定有AB,例如A{123}B{23},反之,当AB时,不一定能推出A不是B的子集,例如A,则A必是B的子集,所以,“AB”是“A不是B的子集”的既不充分也不必要条件.

A不是B的子集不一定能推出B不是A的子集,例如A{123}B{23},反之亦然,所以,“B不是A的子集”是“A不是B的子集”的既不充分也不必要条件.

根据子集的概念可知“存在xA,使得xB”是“A不是B的子集”的充要条件. 

所以,答案为D

 

1.2.31 已知函数f(x)(a21)x2(a1)x3,则f(x)>0对任意的xR恒成立的充要条件是     

解析 当a1时,f(x)3>0恒成立.而当a=-1时,f(x)=-2x3不是对一切xR都有f(x)>0成立.

a≠±1时,使f(x)>0对一切xR都成立的充要条件是解得a>1a<-,所以,使f(x)>0对任意的xR恒成立充要条件是a≥1a<-.

 

1.2.32 证明:“关于x的方程ax3bx2cxd0有一个根为-1的充要条件是“acbd”.

解析 若acbd,则方程ax3bx2cxd0即为ax3bx2cxacb0,于是,a(x31)b(x21)c(x1)0(x1)[a(x2x1)b(x1)c]0,所以,x  1是方程ax3bx2cxd0的一个根;反之,如果x=-1是方程ax3bx2cxd0的一个根,则有a×(1)3b×(1)2c×(1)d0,于是,acbd,所以,“关于x的方程ax3bx2cxd0有一个根为-1的充要条件是“acbd”.

 

1.2.33 (1) 证明:是的充分不必要条件;

(2) 指出成立的充要条件.

解析 (1) a>3b>3时,必有ab>6ab>9成立.

反之,在ab>6ab>9的条件下,不一定有a>3b>3成立,如a1b10

所以,是的充分不必要条件.

(2) 成立的充要条件是

 

1.2.34 证明:AB(AC)(BC)的充分不必要条件.

解析 当AB时,任取xBCxBxC,于是有xAxC,则xAC,所以,AB(AC)(BC)的充分条件,而C使(AC)(BC)成立,但B不一定是A的子集,所以,AB(AC)(BC)充分不必要条件.

 

1.2.35 ab”是否为“关于x的方程a(ax1)b(bx1)有解”的充要条件?若是,请予以证明;若不是,请指出它是什么条件?并请说明理由.

解析 对于未知数是x的方程(a2b2)xab,如果a1b=-1,此时有ab,而原方程是x2,此方程无解,于是,“ab”不是“关于x的方程a(ax1)b(bx1)有解”的充分条件;反之,如果ab,则关于x的方程(a2b2)xab即为x0,此方程的解集为R,则“ab”不是“关于x的方程a(ax1)b(bx1)有解”的必要条件,即“ab”是“关于x的方程a(ax1)b(bx1)有解”的既不充分也不必要条件.

 

1.2.36 如果系数a1b1c1a2b2c2都是非零常数的方程a1x2b1xc10a2x2b2xc20的解集分别是AB,求证:“”是“AB”的充要条件.

解析 充分性:若x0A,即x0是方程a1x2b1xc10的根,则a1b1x0c10,而非零实数a1b1c1a2b2c2满足,设=k≠0,则可得k(a2b2x0c2)0,于是a2b2x0c20,即x0是方程a2x2b2xc20的根,即x0B,则AB,同理可证BA,所以AB

必要性:若x1x2是方程a1x2b1xc10的根,x'1x'2a2x2b2xc20的根,则x1x2=-,x1x2=,x'1x'2=-,x'1x'2=,由ABx1x2x'1x'2x1x2x'1x'2,则-=-且,所以有.